Transcript METODA PREMIKOV - primer 1 -
Slide 1
Univerza
v Ljubljani
Fakulteta
za arhitekturo
GRADBENA MEHANIKA:
METODA PREMIKOV
izr. prof. dr. Vojko KILAR
asist. dr. David Koren
marec, 2012
Slide 2
Okvirne konstrukcije
• SAP2000: 3-etažen okvir: Lx = 2 x 6 m, Het = 3 m,
HEA 300 (stebri), IPE 240 (grede), jeklo S235
• obtežba vozlišča i: M = 100 kNm
M
vozlišče i
• zasuk vozlišča i [10-3 rad]:
okvir 1
okvir 2
okvir 3
2,06
1,18
1,14
Slide 3
Splošna togostna matrika elementa
• OBOJESTRANSKO VPETI NOSILEC
ui
wi
i
Ni
EA
0
0
Qi
0
Mi
0
Nk
12 E I
L
EA
6 E I
3
L
6 E I
2
4 E I
2
L
0
0
L
0
Mk
0
k
0
0
0
0
12 E I
L
6EI
EA
Qk
i
wi
Mi
i
6 E I
3
L
L
Qk
EA
wk
L
L
uk
L
k
Mk
Qi
2
Qi
2 E I
2
k
i
k
L
0
Mi
i
0
wk
Mk
k
L
12 E I
3
L
6EI
L
2
6EI
2
L
2 E I
L
0
0
12 E I
3
L
6EI
L
2
Qk
6EI
i
2
L
4 E I
Qk
i
L
Qi
Mk
k
Mi
Mi
i
Qi
M k Q k
k
k
Slide 4
Splošna togostna matrika elementa
k
• ENOSTRANSKO VPETI NOSILEC
i
ui
wi
Ni
EA
0
Qi
0
wi
i
3 E I
L
0
3
3 E I
L
M i
0
L
Mi
Nk
i i
EA
0
Mk
0
EA
M
0k
0
3 E I Qi
0
L
M iE A
0 i
0
Qk
k
k
3E I
3E I
L
0
3
3E I
0
2
L i
L
3E I
k0
2
0M k
k
0
Qi
3 E IQ k
L
0i
i
wi
0
Qk
Qi
Mi
i
0wk
0
k
wk
Qi
Qk
k
i
i
k
k
Qi
M k Q k
k
k
Qk
Qi
Mi
Mi
Mi
0
3
Mk
i
k
0
3
L
0
k
i
L
L
Qk
wk
L
3 E I Q
i
2
L
2
uk
i
i
Mi
Qk
zasuk členka ne povzroča
notranjih sil
k
k
Slide 5
Obojestransko vpeti nosilec
• SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1
• obtežba desnega vozlišča: φ = 1 rad
φ
deformacije
[M] kNm
[Q] kN
Slide 6
Obojestransko vpeti nosilec
Togostna matrika:
Slide 7
Obojestransko vpeti nosilec
Slide 8
Enostransko vpeti nosilec
• SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1
• obtežba vpetega (desnega) vozlišča: φ = 1 rad
φ
deformacije
[M] kNm
[Q] kN
Slide 9
0 0
0 3
Enostransko vpeti nosilec
Togostna matrika:
Slide 10
Enostransko vpeti nosilec
Slide 11
Vpliv zunanje obtežbe
Slide 12
Primer 1
Podatki:
φ1
φ2
P
1
φ3
2
l/2
l/2
3
l
Slide 13
Primer 1
Podatki:
P
φ1
φ2
1
2
l/2
1
φ3
3
l/2
l
2
2
3
Togostni matriki
elementov
Slide 14
Primer 1
1
2
3
2
Togostni matriki
elementov
Togostna matrika konstrukcije:
=
=
=1
Slide 15
Primer 1
=0
=0
P
φ1
φ2
1
φ3
2
l/2
l/2
l
Slide 16
Primer 1 – upogibni momenti [
φ2
P
1
2
φ2
2φ2 =
0,29
-
]
φ2
3φ2 =
0,43
0,14
+4φ =
2
[Mφ2]
0,57
1,0
1,29
-
-
+ 1,0
-
1,0
0,43
+ 1,14
-
[Mobt.]
[M]
Slide 17
Primer 1 – prečne sile [
φ2
P
1
2
φ2
6/l·φ2 =
0,86
]
φ2
+
+
3/l·φ2 =
0,43
4,0
4,0
4,86
[Qobt.]
+
+
[Qφ2]
3,14
+
0,43
[Q]
Slide 18
Primer 1 – reakcije [
φ2
P
1
2
4,86
]
3
3,14
+
0,43
+
M1 = 1,29
H1 = 0
V1 = 4,86
[R]
V2 = 3,57
V3 = 0,43
Smeri:
R
+Q
[Q]
+Q
R
Slide 19
Primer 2
q
1
4
2
l1
Podatki:
3
l1
l2
Slide 20
Primer 2
q
1
2
Podatki:
4
3
1
2
2
4
2
Togostne
matrike
elementov
3
Slide 21
Primer 2
1
2
4
2
2
3
Togostna matrika konstrukcije:
=
i = 1 … „moder“ in „zelen“ element
i = 2 … „rdeč“ element
Slide 22
Primer 2
Ob predpostavki l1 = l2 velja:
Slide 23
Program SAP2000
Primer 2
Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega
1,136
-
predpostavka l1 = l2
-
q = 10 kN/m
-
l = 1 m, EI = 1
-
faktor za A in As >> 1
Slide 24
Primer 2a
q
1
Podatki:
4
2
3
1
2
2
4
2
Togostne
matrike
elementov
3
Slide 25
Primer 2a
1
2
4
2
2
3
Togostna matrika konstrukcije:
=
i = 1 … „moder“ in „zelen“ element
i = 2 … „rdeč“ element
Ob predpostavki l1 = l2 velja:
Slide 26
Primer 2a
Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega
Program SAP2000
-
predpostavka l1 = l2
-
q = 10 kN/m
-
l = 1 m, EI = 1
-
faktor za A in As >> 1
Slide 27
Primer 3
q
3
4
2
5
1
6
l
l
l
Podatki:
Slide 28
Primer 3
3
q
4
l
5
2
l
6
1
l
Togostne matrike elementov
Togostna matrika konstrukcije
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
0
0
0
0
0
0
0
11
2
0
2
0
0
2
8
2
0
0
0
0
2
8
2
0
0
2
0
2
11
2
0
0
0
0
2
4
Slide 29
Primer 3
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
0
0
0
0
0
0
0
11
2
0
2
0
0
2
8
2
0
0
0
0
2
8
2
0
0
2
0
2
11
2
0
0
0
0
2
4
=
sistem 5 enačb s 5
neznankami
(φ2, φ3, φ4, φ5, M6)
Slide 30
Primer 3
Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega
Program SAP2000
-
q = 10 kN/m
-
l = 1 m, EI = 1
-
faktor za A in As >> 1
Slide 31
Togostne matrike konstrukcij
k11
k12
...
k1n
k21
k22
...
k2n
.
.
.
.
.
.
kn1
kn2
.
.
.
...
=
knn
Za togostno matriko konstrukcije [K] in za togostne matrike
elementov velja, da so simetrične.
Togostna matrika stabilne konstrukcije je pozitivno definitna (ne
more biti singularna in jo lahko invertiramo dobimo podajnostno
matriko konstrukcije).
Diagonalizacija matrike problem lastnih vrednosti (λ):
K x M x
Slide 32
Univerza
v Ljubljani
Fakulteta
za arhitekturo
GRADBENA MEHANIKA:
METODA PREMIKOV
izr. prof. dr. Vojko KILAR
asist. dr. David Koren
marec, 2012
Slide 2
Okvirne konstrukcije
• SAP2000: 3-etažen okvir: Lx = 2 x 6 m, Het = 3 m,
HEA 300 (stebri), IPE 240 (grede), jeklo S235
• obtežba vozlišča i: M = 100 kNm
M
vozlišče i
• zasuk vozlišča i [10-3 rad]:
okvir 1
okvir 2
okvir 3
2,06
1,18
1,14
Slide 3
Splošna togostna matrika elementa
• OBOJESTRANSKO VPETI NOSILEC
ui
wi
i
Ni
EA
0
0
Qi
0
Mi
0
Nk
12 E I
L
EA
6 E I
3
L
6 E I
2
4 E I
2
L
0
0
L
0
Mk
0
k
0
0
0
0
12 E I
L
6EI
EA
Qk
i
wi
Mi
i
6 E I
3
L
L
Qk
EA
wk
L
L
uk
L
k
Mk
Qi
2
Qi
2 E I
2
k
i
k
L
0
Mi
i
0
wk
Mk
k
L
12 E I
3
L
6EI
L
2
6EI
2
L
2 E I
L
0
0
12 E I
3
L
6EI
L
2
Qk
6EI
i
2
L
4 E I
Qk
i
L
Qi
Mk
k
Mi
Mi
i
Qi
M k Q k
k
k
Slide 4
Splošna togostna matrika elementa
k
• ENOSTRANSKO VPETI NOSILEC
i
ui
wi
Ni
EA
0
Qi
0
wi
i
3 E I
L
0
3
3 E I
L
M i
0
L
Mi
Nk
i i
EA
0
Mk
0
EA
M
0k
0
3 E I Qi
0
L
M iE A
0 i
0
Qk
k
k
3E I
3E I
L
0
3
3E I
0
2
L i
L
3E I
k0
2
0M k
k
0
Qi
3 E IQ k
L
0i
i
wi
0
Qk
Qi
Mi
i
0wk
0
k
wk
Qi
Qk
k
i
i
k
k
Qi
M k Q k
k
k
Qk
Qi
Mi
Mi
Mi
0
3
Mk
i
k
0
3
L
0
k
i
L
L
Qk
wk
L
3 E I Q
i
2
L
2
uk
i
i
Mi
Qk
zasuk členka ne povzroča
notranjih sil
k
k
Slide 5
Obojestransko vpeti nosilec
• SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1
• obtežba desnega vozlišča: φ = 1 rad
φ
deformacije
[M] kNm
[Q] kN
Slide 6
Obojestransko vpeti nosilec
Togostna matrika:
Slide 7
Obojestransko vpeti nosilec
Slide 8
Enostransko vpeti nosilec
• SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1
• obtežba vpetega (desnega) vozlišča: φ = 1 rad
φ
deformacije
[M] kNm
[Q] kN
Slide 9
0 0
0 3
Enostransko vpeti nosilec
Togostna matrika:
Slide 10
Enostransko vpeti nosilec
Slide 11
Vpliv zunanje obtežbe
Slide 12
Primer 1
Podatki:
φ1
φ2
P
1
φ3
2
l/2
l/2
3
l
Slide 13
Primer 1
Podatki:
P
φ1
φ2
1
2
l/2
1
φ3
3
l/2
l
2
2
3
Togostni matriki
elementov
Slide 14
Primer 1
1
2
3
2
Togostni matriki
elementov
Togostna matrika konstrukcije:
=
=
=1
Slide 15
Primer 1
=0
=0
P
φ1
φ2
1
φ3
2
l/2
l/2
l
Slide 16
Primer 1 – upogibni momenti [
φ2
P
1
2
φ2
2φ2 =
0,29
-
]
φ2
3φ2 =
0,43
0,14
+4φ =
2
[Mφ2]
0,57
1,0
1,29
-
-
+ 1,0
-
1,0
0,43
+ 1,14
-
[Mobt.]
[M]
Slide 17
Primer 1 – prečne sile [
φ2
P
1
2
φ2
6/l·φ2 =
0,86
]
φ2
+
+
3/l·φ2 =
0,43
4,0
4,0
4,86
[Qobt.]
+
+
[Qφ2]
3,14
+
0,43
[Q]
Slide 18
Primer 1 – reakcije [
φ2
P
1
2
4,86
]
3
3,14
+
0,43
+
M1 = 1,29
H1 = 0
V1 = 4,86
[R]
V2 = 3,57
V3 = 0,43
Smeri:
R
+Q
[Q]
+Q
R
Slide 19
Primer 2
q
1
4
2
l1
Podatki:
3
l1
l2
Slide 20
Primer 2
q
1
2
Podatki:
4
3
1
2
2
4
2
Togostne
matrike
elementov
3
Slide 21
Primer 2
1
2
4
2
2
3
Togostna matrika konstrukcije:
=
i = 1 … „moder“ in „zelen“ element
i = 2 … „rdeč“ element
Slide 22
Primer 2
Ob predpostavki l1 = l2 velja:
Slide 23
Program SAP2000
Primer 2
Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega
1,136
-
predpostavka l1 = l2
-
q = 10 kN/m
-
l = 1 m, EI = 1
-
faktor za A in As >> 1
Slide 24
Primer 2a
q
1
Podatki:
4
2
3
1
2
2
4
2
Togostne
matrike
elementov
3
Slide 25
Primer 2a
1
2
4
2
2
3
Togostna matrika konstrukcije:
=
i = 1 … „moder“ in „zelen“ element
i = 2 … „rdeč“ element
Ob predpostavki l1 = l2 velja:
Slide 26
Primer 2a
Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega
Program SAP2000
-
predpostavka l1 = l2
-
q = 10 kN/m
-
l = 1 m, EI = 1
-
faktor za A in As >> 1
Slide 27
Primer 3
q
3
4
2
5
1
6
l
l
l
Podatki:
Slide 28
Primer 3
3
q
4
l
5
2
l
6
1
l
Togostne matrike elementov
Togostna matrika konstrukcije
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
0
0
0
0
0
0
0
11
2
0
2
0
0
2
8
2
0
0
0
0
2
8
2
0
0
2
0
2
11
2
0
0
0
0
2
4
Slide 29
Primer 3
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
0
0
0
0
0
0
0
11
2
0
2
0
0
2
8
2
0
0
0
0
2
8
2
0
0
2
0
2
11
2
0
0
0
0
2
4
=
sistem 5 enačb s 5
neznankami
(φ2, φ3, φ4, φ5, M6)
Slide 30
Primer 3
Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega
Program SAP2000
-
q = 10 kN/m
-
l = 1 m, EI = 1
-
faktor za A in As >> 1
Slide 31
Togostne matrike konstrukcij
k11
k12
...
k1n
k21
k22
...
k2n
.
.
.
.
.
.
kn1
kn2
.
.
.
...
=
knn
Za togostno matriko konstrukcije [K] in za togostne matrike
elementov velja, da so simetrične.
Togostna matrika stabilne konstrukcije je pozitivno definitna (ne
more biti singularna in jo lahko invertiramo dobimo podajnostno
matriko konstrukcije).
Diagonalizacija matrike problem lastnih vrednosti (λ):
K x M x
Slide 32