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第六章
機率分配
1
隨機變數
機率分配函數
常用的機率分配
2
隨機變數 (random variable)
將隨機實驗中每一個樣本點對應至實數值
之“函數”
樣
本
點
隨機變數 f
實
數
值
3
EX: 丟擲兩個銅板
樣本空間：
（正，正）
（正，反）
隨機變數值 x：
隨機變數 X =
正面出現個數
?
?
（反，正）
（反，反）
?
4
間斷型隨機變數
隨機變數值為：
•有限可數
• 無限可數
隨機試驗
隨機變數
隨機變數 X 可能的數值
一個銅板丟擲三次
出現正面的次數
0, 1, 2, 3
檢查 10 個產品
不良品的個數
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
觀察一小時內汽車
到達收費站的情況
到達收費站的車輛數
0, 1, 2,…
5
連續型隨機變數
隨機變數值為：
無限且不可數
隨機試驗
隨機變數
隨機變數 X 可能的數值
觀察顧客至銀行的情形
顧客到達的間隔時間
x0
計算飲料罐的容量
飲料罐的容量(c.c.)
200  x  250
觀察某公司接電話的情況
兩通電話的間隔時間
x0
6
間斷機率分配函數
間斷型隨機變數的機率分配
Example
隨機變數 X 等於某一隨機變數值 xi 的機率為
P ( X  xi )  f ( xi ) ；其滿足以下兩個條件：
(1) 0  f ( x i )  1
n
(2) f ( xi )  1
i 1
則 f ( x ) 稱為X之機率分配
7
Return
EX: 丟擲兩個銅板
隨機變數 X
= 正面出現個數
樣本空間：
f(x)=正面出現x次
的機率
隨機變數值 x：
（正，正）
f(2)=
2
（正，反）
1
（反，正）
（反，反）
f(1)=
f(0)=
0
f (0)  f (1)  f ( 2)  1
8
例6.1 丟擲一個均勻的銅板三次(續)
f(0) = P(X=0) = P({(T,T,T)})=
f(1) = P( X=1) = P({( H,T,T),(T,H,T), (T,T,H)})=
f(2) = P( X=2) = P({( H,H,T),(H,T,H), (T,H,H)})=
f(3) = f( X=3) = P({((H,H,H)})=
 每一個 f(x) 皆介於0與1之間
 所有f(x) 總和等於1。
9
例6.1 丟擲一個均勻的銅板三次(續1)
圖6.2 隨機變數X的機率分配
樣本空間
隨機變數
機率f(x)
3
2
1
0
10
隨機實驗
隨機變數
機率分配
函數
11
Example
 累加機率分配
F ( xi )  P ( X  xi )
 f ( x1 )  f ( x2 ) 
 f ( xi )
• 對每一個可能數值xi而言，0  F(xi)  1。
• 若x1＜x2，則F(x1)  F(x2)。
• 若a＜b，則f(a＜x b) =F(b) －F(a)。
12
Return
EX : 丟擲兩個銅板
F (0) 
F (1) 
F (2) 
P(1  X  2) 
P(1  X  2) 
13
因此，X之累積機率函數為
　


F ( x)  




x0
0  x 1
1 x  2
2 x
14
F (x )
1
階梯式函數
1/ 2
1/ 4
0
1
2
15
以機率分配計算母體平均數、母體變異數***
隨機變數值
機率值
x1
x2
…
xn
f(x1)
f(x2)
…
f(xn)
16
EX 6.3 & 6.5 (p.140)
x
f(x)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
E( X )   
Var( X )   
2
17
例6.4 教師出教科書之情況
 表6.3為某學校400名教師出版教科書冊數之次數分配表，
試求教師出版教科書之平均冊數？
表6.3 教師出版教科書冊數之次數分配表
18
例6.4 教師出教科書之情況(續)
解：
如果我們讓代表教師出版教科書冊數，然後其相對次數視
為其出版冊數的發生機率，那麼就可視為一個間斷的隨機
變數，因此
根據(6.1) 式計算，其期望值為
E( X ) 
x
f ( x)
all x
19
例6.6 接續例6.4
 接續例6.4，試求某學校教師出版教科書冊數之變
異數和標準差？
解：
因此，某學校教師出版教科書冊數之平均數為
1.5725冊，變異數為1.1897，標準差為1.09冊。
20
期望值定理***
E (a )  a（
; a為常數）
E (a  bX )  a  bE ( X )
E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )
E ( XY )  E ( X ) E (Y )
E ( X )   E ( X )
2
2
21
變異數定理***
Var (a )  0; （a為常數）
Var (bX )  b Var ( X )
2
Var (a  bX )  b Var ( X )
2
22
標準化隨機變數
2

,

 隨機變數 X 
 標準化隨機變數 Z 
X

E ( Z )  0; Var(Z)  1
E (Z ) 
23
Var (Z ) 
24
常用的機率分配
二項分配
超幾何分配
波松分配
25
二項分配
26
伯努利 (Bernoulli) 實驗
只有兩種結果之實驗
Ex: 成功 = 1 vs. 失敗 = 0
成功機率 = P(X=1) = f(1) = p
失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p
期望值 =
變異數 =
27
二項分配
特性
進行 n 次伯努利實驗
成功機率 = P(X=1) = f(1) = p
失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p
每一次實驗互相獨立
隨機變數 X = n 次實驗中成功次數
X = 0, 1, 2, … , n
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X ~ B  n, p 
二項機率函數
f ( x )  C xn p x (1  p)n x
n!
x
n x

p (1  p) ; x  0,1, 2,
x !( n  x )!
,n
期望值 E ( X )  np
變異數 Var ( X )  np(1  p )
29
例6.8 超級市場消費情形

一家超級市場發現在促銷活動期間，每位顧客會消費超過
1,000元的機率為80%。現有5位顧客，請問這5位顧客於促
銷期間會消費超過1,000元的人數之機率分配為何？其期望
值和變異數又為何？
解：此隨機試驗具有下列之性質
1. 包含5個試驗，每位顧客之消費視為一試驗。
2. 每次試驗互相獨立，每位顧客消費之情況不會互相影
響。
3. 每次試驗只有兩種可能的結果，消費超過1,000元（視
為成功）或沒有超過1,000元（視為失敗）。
4. 每次試驗成功的機率為，消費超過1,000元的機率為0.8。
30
例6.8 超級市場消費情形（續 )
由於符合二項隨機試驗之性質，故為二項隨機試驗。現定義
隨機變數X為5位顧客於促銷期間會消費超過1,000元的人數。
所以，其機率分配為n=5、p=0.8的二項分配。根據(6.5)式，
其各可能數值之機率值分別為
f (0)  (0.2)5
f (3)  C53 (0.8)3 (0.2) 2
f (1)  C15 (0.8)(0.2) 4
f (4)  C54 (0.8) 4 (0.2)
f (2)  C52 (0.8) 2 (0.2)3
f (5)  (0.8)5
根據(6.6)與(6.7)式，其期望值和變異數分別為
E (X ) 
Var(X ) 
31
超幾何分配
32
超幾何分配
特性
母體為 N，可分為兩類，其中一類（成功）共
有 k 個，另一類（失敗）共有 N – k 個
共抽取 n 次且每次成功機率會改變（ex: 抽出
不放回）
隨機變數 X = n 次實驗中成功次數
33
二項分配與超幾何分配比較
二項分配
超幾何分配
抽出後
放回
不放回
每次實驗成功的
機率
每次實驗
相同
不相同
獨立
不獨立
34
失敗
N-k
成
功
k
成功
x
失敗
n-x
樣本 n
母體 N
35
X ~ HG  N , n, k 
 超幾何機率函數
36
期望值 and 變異數
p
k
E( X )  n
N
1-p
因實驗不獨立
之校正因子
k N k N n
Var ( X )  n
N N N 1
37
例6.9 行動電話系統市場概況
 根據調查顯示，台灣大哥大與遠傳電信為消費者心目中的
前二名行動電話系統業者。假設現有10位行動電話使用者，
其中7位使用台灣大哥大，3位使用遠傳電信。茲從這10人
中隨機抽取3人，定義隨機變數為抽取的3人中使用遠傳電
信的人數，試問恰有2人使用遠傳電信的機率為何？X之期
望值與變異數又為何？
解：
令抽取一個使用遠傳電信的人視為成功事件，且定義隨機
變數為抽取的3人中使用遠傳電信的人數，則X的可能數值
為0,1,2,3，根據(6.8)式，其機率值分別為
38
例6.9 行動電話系統市場概況（續）
f (0) 
f (1) 
39
例6.9 行動電話系統市場概況(續1)
 3!  7! 



3
7
C 2  C1  2!1!  1! 6! 
7
f ( 2) 


10
40
 10! 
C3


 3! 7! 
 3!  7! 



3
7
C3  C 0  3! 0!  7! 0! 
1
f (3) 


10
120
 10! 
C3


 3! 7! 
40
例6.9 行動電話系統市場概況（續2）
因此，恰有2人使用遠傳電信的機率為7/40。
且根據(6.9)式和(6.10)式，X之期望值與變異數分別為
E (X ) 
Var(X ) 
41
波松分配
42
波松分配的實例
 考慮下列現象：每小時服務台訪客的人數，每天
家中電話的通數，一本書中每頁的錯字數，某條
道路上每月發生車禍的次數，生產線上的疵品數，
學生到辦公室找老師的次數……。
上述現象大致上都有一些共同的特徵：在某時間
區段內，平均會發生若干次「事件」，但是有時
候很少，有時又異常地多，因此事件發生的次數
是一個隨機變數，它所對應的機率函數稱為
Poisson 分配。
43
波松分配
 隨機變數
X = 在一連續區間內某一事件之發生次數
X = 0, 1, 2, …
 假設 :
在一連續區間（時間、距離、空間…）發生某一
事件的次數與另一區間發生的次數互不相關
44
波瓦松分配：
X ~ P  
  單位區間中，發生事件 A 的平均次數
X  在 t 個單位區間中事件 A 的發生次數
e   t ( t ) x
f ( x) 
; x  0,1, 2, ..., 
x!
期望值 and 變異數
E( X )   t
Var ( X )   t
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例6.10 新光百貨公司顧客概況
 新光百貨公司在晚上7:00至10:00期間，平均每半
小時有90位顧客，試問該公司在晚上7:00至10:00
期間，每分鐘顧客人數不少於2人之機率為何？
解：
令隨機變數X表示每分鐘內顧客的數目，因為平
均每半小時有90位顧客，所以平均每分鐘有3位顧
客。因為每位顧客到達百貨公司之事件互相獨立，
故每分鐘顧客人數之機率分配為=3的波松分配。
根據(6.11)式，其機率函數f(X)為
x  0, 1, 
46
例6.10新光百貨公司顧客概況（續）
由(6.14)式，可得
f (0) 
f (1) 
f (2) 
因此，每分鐘顧客人數不少於2人之機率為
P( X  2)  1  P( X  2)
 1  f (0)  f (1)
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事件發生
之背景
抽出放回
離散n
實驗次數
抽出不放
回
計算某一事件
發生次數之
機率
連續 t
(某一段時
間、距離、
區域)
48
機率
分配
二項
分配
超幾何
分配
f(x)
x 之範圍
E(X)
Var(X)
x=0,1,…,n
x=a,a+1,…,
b
a=max(0, n-(N-k))
b=min(k, n)
波瓦松
分配
x=0,1,…
49
超幾何分配
n
 0.05
N
k
(p )
N
n  20; np  1
n  50; np  5
n  100; np  10
二項分配
波瓦松分配
(  np )
n=1
(t=1)
伯努力分配
50