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大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 2

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 3

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 4

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 5

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 6

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 7

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 8

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 9

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 10

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 11

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 12

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 13

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 14

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 15

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 16

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 17

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 18

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 19

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 20

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 21

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 22

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 23

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 24

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 25

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 26

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 27

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 28

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 29

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 30

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 31

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 32

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 33

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 34

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 35

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 36

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 37

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 38

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 39

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 40

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 41

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 42

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 43

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 44

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 45

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 46

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 47

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 48

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 49

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 50

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 51

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 52

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 53

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 54

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 55

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 56

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 57

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 58

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 59

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 60

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 61

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 62

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 63

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 64

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 65

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 66

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 67

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 68

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 69

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 70

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 71

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 72

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 73

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 74

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 75

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 76

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 77

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 78

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 79

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 80

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 81

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 82

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 83

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 84

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 85

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 86

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 87

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 88

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 89

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 90

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 91

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 92

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 93

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

返回

科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc


Slide 94

大学物理实验
武汉理工大学
物 理 实 验 中 心
2007年9月
wlsys@whut.edu.cn

大学物理实验绪论

主要内容


绪论



测量误差与数据处理的基础知识

绪 论


学习物理实验课程的意义



物理实验课的任务



物理实验课的基本程序



实验室规则



本学期内容安排

学习物理实验课程的意义

物理实验课的任务


通过对实验现象的观察、分析和对物理
量的测量，学习物理实验知识，加深对
物理学原理的理解



培养和提高科学实验能力 >>



培养和提高科学实验素养 >>



为今后工作奠定必要的基础和条件,适应
社会的需要.

物理实验课的基本程序


预习



课堂操作



撰写报告

1.预习


阅读教材、资料，看懂实验原理、清楚内容



在统一的实验报告纸上书写实验预习报告，包
括:目的、原理、内容、注意事项；要求简明



书面回答预习思考题



另备纸张绘制好数据记录表格（实验数据不能

直接记入实验报告）

2.课堂操作


看规则、注意事项——注意安全



熟悉仪器及使用方法——学会正确使用实验仪器



仔细观察并分析实验现象——培养应用知识、分析问
题的能力



认真测量，正确记录——培养严谨的科学态度



仪器发生异常、故障速请教老师



数据须经老师审查签字（未经老师签字，没有成绩）



归整仪器，保持卫生,养成良好习惯(习惯不良，扣5-10分)

进实验室,老师检查实验预习报告,
没有预习者,取消本次实验!

3.撰写报告


完成数据列表及填写



进行数据处理，给出实验结论



小结或回答问题讨论（有独到见解，加5-10分）

4.实验室规则
1.

必须带教材、预习报告.

2.

无故缺课、伪造数据、抄袭实验报告，无成绩

3.因病、因公等缺课，凭学工办批的事假条，方可补

做。
4.遵守纪律，按要求正确操作、实验
5.完成实验后整理实验仪器，并轮流值班打扫实验室
卫生（班长负责每次指定4位同学）

4.实验室规则
5.

实验报告必须附上经老师审查签字的原始数据

6.

课代表于实验后第三天收齐报告，送交实验室

实验报告柜中(实验报告可按实验项目拆分)
7.

所有实验报告，本学期评估期间暂不下发学生，
物理实验室存档。

5.本学期内容安排


实验课表见 http://202.114.87.247



如何看懂课表?



遇实习冲突的实验，由学委主动和任课
教师商定补做时间，其他实验日程不变

重要通知









每个同学在物理实验教学网（202.114.87.247）的选课系统中，
可查询本学期实验项目，实验成绩。（用自己的学号登陆，密码
即学号）。
教材变动很大，不要用旧教材，到教材中心购07年出版（06年9
月出版亦可）的《大学物理实验》武汉理工大学出版社。

要求人手一册，08年春季还要上。
本学期10月25号教学评估，专家会抽查学生做实验，检查实验报
告，要求同学们高度重视，学好物理实验课。本学期实验课19周20周考试。
16周-18周,可通过物理实验中心选课系统自选实验室提供的实验
项目,记入使用成绩.(到时看实验中心网站详情)

第一章 测量误差与数据处理的基础知识


测量与误差



直接测量结果的表示和不确定度的估计



间接测量结果的表示和不确定度的估计



测量结果的有效数字



处理实验数据的几种方法

1.1 测量与误差


测量



直接测量与间接测量



测量误差及表示方法



误差的分类



随机误差的评定

什么是测量？


测量是把被测量与选作计量单位的同类
量比较，并确定其倍数的过程。

1.1.1 直接测量和间接测量

1.

直接测量
可直接从测量仪器（或量具）上读出待测量的值

0

2

3

4

5

6

7

8

9

>>

2.

间接测量
由直接测量量获得相关数据，再用已知的函数关系
经过运算才能得到待测量的量值。

如：测元柱体的体积
d
h

V 

1
4

d h
2

3.等精度测量


在测量方法和测量条件相同的情况下进行的
一系列测量称为等精度测量
例如：同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样
的测量方法对同一被测量进行多次测量。

没理由说哪一次测量更准确

1.1.2 测量误差及表示方法
由于测量
方法、测量仪
器、测量环境、
测量者的观察
力以及种种因
素的局限，使
测量结果都可
能含有误差。
任何测量都存在误差

测量误差（error of measurement）



是测量值与待测量的真值（或约定真值）的差值。

绝对误差 = 测量结果－被测量的真值



相对误差 =



测量的绝对误差
被测量的真值

真值是一个理想的概念，一般说来是不知道的，
实际测量中有时采用已修正过的被测量的算术平
均值来代替真值，称为约定真值。

1.1.3 误差的分类

1 系统误差


定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被

测量的真值


来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离预计情况以及实

验者的不良习惯。


特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。



处理
应尽可能通过分析产生的原因来修正。

2 随机误差


定义
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等



特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化，常为正态分布



处理
计算标准偏差来估算测量的准确程度

随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，测量
误差δ趋近如下分布，f (δ)表示误差δ出现的几率。
 特点


正负误差出现的几率相等；



绝对值较小的误差出现的次
数较多；

f (x) 

1
2 

-

e

(x -  )
2



很大的误差通常不出现；



随机误差的算术平均值趋于

2

2

零；若无系统误差，测量的

0

δ

平均值趋于真值。

测量次数较少时将偏离正态分布,增加测量次数，可
以减少测量误差

认识正态分布函数
设对物理量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值
xi(i=1,2,…）满足正态分布，则

平均值  等于真值 X
  lim

n 

1

n

x

n

i

 X0

i 1

测量的随机误差

 i  xi  

测量的标准偏差
0

  lim

n 

i2
n

测量误差的分布函数
f ( ) 

1
2



e

2
2

2

正态分布的意义
测量值落在区间 (( , ,) )
的概率P = 68.3%；
在区间
  x

(   2 ,   2 )

的概率P = 95.4%；
在区间

(   3 ,   3 )

的概率P = 99.7%。
反映测量偶然误差的大小。

O

通常，概率P 称为“置信概率”，
对应的x范围称为“置信区间”。

随机误差和系统误差的形象表示

子弹着靶点分布图

（a）随机误差小，系统误差大
（b）随机误差大，系统误差小
（c）随机误差和系统误差都小

能看出图示测量中随机误差和系统误
差的相对大小吗？ （X0为真值）
f ( x)

f ( x)

X0
（a）

x

X0
（b）

x

1.2 测量不确定度（uncertainty of
measurement）






由于测量误差的存在而对被测量值不能
确定的程度
是通过“量值范围”和“置信概率”来
表达
是对被测量真值可能取值范围的评定。

“不确定度”与“误差”的区别




误差表示测量结果对真值的偏离，是一
个确定的值；不确定度表明测量值的分
散性，表示一个区间。
由于真值是不知道的，测量误差只是理
想的概念；不确定度则可以根据实验、
资料、经验等信息进行定量确定。

1.2.1 不确定度的评定


规范依据
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—
1999



不确定度的评定方法可归纳为A、B两类
用统计方法得出的归为A类
用非统计方法得出的归为B类

A、B两类不确定度只是评定方法的不同，不是不确定度性质的
不同。有些情况下只需进行A类或B类评定，更多情况下要综合
A、B两类评定的结果。

1.2.1.1 不确定度的A类评定
在重复性条件下对被测量X 进行了n 次测量，
测得n个结果 x（
i i = 1，2，… n），
被测量X真值的最佳估计值是取n次独立测量值

的算术平均值：

x

1

n

x

n

i

i 1

由于测量误差的存在，每一个独立测量值不一定
相同，它与平均值之间存在着残差：

 (i)  xi  x
表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：
xi

s ( xSi ) 

n

 (x

i

 x)

i 1

n 1

标准差的计算与 xi 的分布无关。

2

算术平均值的标准偏差：
n

s ( xX) 
S

s ( xi )



 ( xi  x)

n

2

i 1

n( n  1)

就是测量结果 x的A类标准不确定度。
小结:

A类标准不确定度的计算方法:
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

2

1.2.1.2 标准不确定度的B类评定
不确定度B类评定的信息来源
1.以往的检测数据，有关的技术资料，说明书等。
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。

2.根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在

计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以估
计时间的测量误差限为0.2秒。

不确定度的B类估算
已知信息表明被测量之测量值分散区间的半宽为Δ，
 a Δ 区间的概率为100%。通过对其
xi  a
且落在
Δ x至
i
分布的估计可得出B类标准不确定度u为：



uB

k

i

包含因子ki取决于测量值的分布规律
(包含因子ki 也可表示为置信系数C）

)
常用分布与ki、 u( x的关系
i

分布类别

P/%

ki

u ( xi )

矩形

100

3

a

正态

99.73

3

三角

100

6

梯形β= 0.71

100

2

3

a 3
a

a 2

6

在实验教学情况下，为简化起见，一般估计为矩形
（均匀）分布。
其中，Δ取仪器的误差限或实际测量估计的误
差极限值 。
u( xi )  ( xi )

小结：B类标准不确定度u为：

u

B




3

3

例1.2.1 知道某游标卡尺的仪器最大仪器误差为
U=0.05mm，则按矩形分布计算标准不确定度：

U  0.05
u (m
u)Bk 3 3  0.029 mg

1.2.1.3 合成标准不确定度的评定


合成标准不确定度
若测量结果含统计不确定度分量：u a 1, u a 2 , 

非统计不确定度分量：u b1, u b 2 , 
且它们互相独立，合成标准不确定度表征为：
m

u 

u
i 1

2
ai

n



u
i 1

2
bi

m,n分别表示A，B两类不确定度分量的个数



如果m=n=1时，则

u 

2

2


ua ub



教学实验中，A类不确定度只有一个分量
n

u

A

s ( xX) 
 S

s ( xi )
n



 ( xi  x)
i 1

n( n  1)

（测量次数n≥6时）

2

B类不确定度有多个分量


由仪器产生的不确定度：
u




b1

仪

3

根据实际情况估计误差极限值Δ

u




b2




3

B类不确定度

u

B



u

2
b1

2

 u b2



例1.2.2 用1米钢卷尺测量金属丝长
度时，除卷尺的仪器误差外，还有测
量时因卷尺不能准确地对准金属丝两
端产生的误差，则计算B类标准不确
定度：
因示值误差相应的不确定度是：


u b1 

仪

3

 0 .5 /

3  0 . 29 mm

因不能准确对准金属丝相应的不确定度是：

u
故

b2

u

B







3

u

2
b1

 2/
2

3  1 . 2 mm

 u b 2  1 . 2 mm

1.2.２总不确定度（扩展不确定度）
的评定
将合成不确定度 u c ( y )乘以一个包含因子k(或记为C)（也
称为置信因子），即得扩展不确定度：
U  kuc ( y)

一般来说，实验测量值y落在区间 y  u c ( y) 至 y  u c ( y)
的概率大约只有68%。
扩展置信区间，可以提高置信概率。
k的取值有两种：

1．不需要准确给出置信概率时，k值可取2～3。 k值取2,

则 U  2u c ( y) 的置信概率约为95%， k值取3, U  3uc ( y )
的置信概率约为99%。
在物理实验中，扩展不确定度按此方法评定。

在实验报告中,简化起见, k值统一取2.
2.需要较准确给出置信概率时，确定k值，需要先算出有
效自由度,在实验教学中暂不作要求.

1.2.３测量结果的表示
X  x  U (单位)
（有明显系统误差时，先对测量值修正）

意义：真值以一定的概率（≥95％）落在
（ X  U ， X  U ）区间之内。
其中，Ｕ＝２＊u ,k=2, u为合成不确定
度，一般，置信概率大约只有68%。
测量结果的常用形式：
R=（2.45±0.03） m，

直接测量的结果计算
①

计算测量结果的最佳值——多次测量的算术平均值

②

计算A类不确定度 ua ——（1-2-4）式

③

估计B类不确定度 ub

④

合成不确定度 uc

⑤

总不确定度（扩展不确定度）Ｕ＝２＊uc

⑥

修正已知系统误差（如果存在）——

⑦

写出结果表达式 ——

x0  x  x '

x  x  U或x 

x

0

U



例1.2.３ ： 用分度值为0.02mm的游标卡尺测得圆柱直径d分
别为：

d (cm) 2.594 2.592 2.596 2.592 2.590 2.592
计算直径的测量结果。

解：
平均值

d



1

d

6

i

2.594  2.592  2.596  2.592  2.590  2.592
6

 2.5927

(cm)

测量的标准差
不确定度B类

s(d ) 

 (di  d )
n(n  1)

uB  仪

2

 0.0019

3  0.002

3

(cm)

(cm)

合成标准不确定度
uc (d ) 

uA  u B 
2

 0.0022

2

0.0019  (0.002
2

2

3)

(cm)

扩展不确定度

U  2  u c  2  0 . 0022  0 . 004 cm
测量结果

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

小结；





标准不确定度，置信概率大约６８％；
扩展不确定度，k=2时，置信概率大约９５
％；
一般中间计算过程，用标准不确定度计算，
最后结果用扩展不确定度表示．

d  2 . 593  0 . 004 ( cm )

1.3.1 有效数字的概念
1.3.1 有效数字的概念
测量结果的数字表示中，由若干位准确数字加一位可疑
数字，便组成了有效数字。
例如：用钢直尺测长度得到

27.4 mm
估读，存疑数字
准确数字

1. 数字“0”的有效性

数字中间和末位出现的“0”都是有效数字，如：
38.6mm≠38.60mm，它们分别是三位和四位有
效数字。
即第一个非零数字之前的“0”不算有效数字。
例如：21.5mm=0.021 5m=0.000 021 5km都是
三位有效数字。
如果长度正好30毫米，应记为：30.0 mm，若
记为：30 mm 或 30.00 都是错误的。

2. 使用科学记数法

如果一个数值很大而有效数字位数又不多时，
数字的大小与有效数字的表示就会发生矛盾。
如：一电阻，其阻值大约200000W，有效数字
却只有3位，应采用科学记数法，即：
R=2.00×105 Ω
又如：0.000633 mm，应表示成6.33×10-4
mm。

1.3.2 测量记录的有效数字
1．游标类量具，有效数字最后一位为游标分度
值；
2．数字显示仪表直接读取其数显值；
3．具有步进式标度盘的仪表一般应直读其示值。
4．米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，要根
据实验条件和实验者的判别能力进行估读，
一般要估读到最小分度值的1/2～1/10（不能
估读到0.1分度以下）。

1.3.3 测量结果的有效数字
1. 测量不确定度的有效数字
测量不确定度的有效数字最多不超过2位。有效数字首
位＜或等于３，则取两位，多余４舍５入，有效数字首
位大于３，取一位．如：
若算得U=0.1342，取U=0.1３；
算得U=0.４332，取U=0.４

但是作为中间计算结果，直接测量量的不确定度，可以
取3位有效数字或者不加修约，以避免积累舍入误差

2. 测量结果的有效数字
根据测量结果的最后一位和不确定度的末位对齐的原
则确定




多余的数字，按“四舍五入”规则修约
如：算出体积 V =5 836.240 l mm3，
不确定度 U = 4.2 mm3

最后一位对齐 V=5 836.2 mm3

3. 不计算不确定时，有效数字按以下规则确定
加减运算，结果的存疑位与各数中最高的相同；
乘除运算，结果的有效数字与各数中最少的相同。

14 . 6


结果为：18.2

3 . 643

24 . 6

18 . 243


3. 7
172 2
738
910 2

结果为：91

小结:确定有效数字应注意以下几点：
1.第一个非零数字前的所有“0”都不算有效数字
如：203.0 mm = 0.2030 m = 0.0002030 km

都是4位。

2.使用科学记数法
16.54 m = 1.654×104 mm ≠ 16540 mm。

3.不确定度取1至2位（仅当首位数字为1或2时取2位）
如：算得0.0564，取为0.06；算得0.247，取为0.25 。

4.数字修约规则简化使用“四舍五入”

1.4 实验仪器的最大允许误差
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到。表1.4.1摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表的示值误差限：

Δ= 量程×准确度等级/100
如：0.5级电流表，量程3A时，Δ=3×0.5/100=0.015A
3．缺乏说明时，取最小分度的一半作为仪器的误差限。
但是，游标卡尺的仪器误差取游标分度值，如：对分
度为0.02 mm 的游标尺， Δ仪= 0.02 mm。

三、间接测量结果及不确定度的计算
设间接测量量

N  f ( X , Y , Z , )

其中X,Y,… 为相互独立的直接测量量，并已经按上
述直接测量的方法算得结果：

X  X 0 U X , Y  Y 0 U Y ,
可以证明：间接测量量的最佳近似值

N 0  f ( X 0 , Y0 , Z 0  )

不确定度
UN 

(

f
X

UX )  (
2

f
Y

UY )  (
2

f
Z

UZ ) 
2

若令 r = ln N ,对r应用上式得N的相对不确定度
Ur 

UN
N



(

 ln f
X

UX )  (
2

 ln f
Y

UY )  
2

此式用于只含积商形式的函数时非常简便。

例如：N  XY
Z

令 r  ln N  ln X  ln Y  ln Z
所以
Ur 

UN



N

U N  N U r

U

(

X

X

U

) (
2

Y

Y

U

) (
2

Z

Z

)

2

例1.2.4 圆柱体的体积公式为

V 

1

 d 2，设已经测得
h

4

d  d  u c (d )， h  h  u c (h)，写出体积的相对合成标准

不确定度表达式。
解：此体积公式只含积商形式的函数，相对合成标准不确
定度表达式，非常简便。
根据相对合成标准不确定度表达式
u c (V )
V

 [

2u c (d )
d

] [
2

u c ( h)
h

]

2

间接测量的结果计算
例如： 已知某圆环的外径D2=10.012±0.004cm，内径
D1=7.986±0.004cm，高度 h=2.124±0.004cm，求环的
体积。

解：环的体积
V 


4



( D2  D1 )h
2

3.14159

2

 (10.012  7.986 )  2.124
2

4

 60.829 (cm )
3

2

计算不确定度
取对数得

ln V  ln


4

 ln( D2  D1 )  ln h
2

2

按传递公式

ucrel (V ) 



uc (V )



(

V

(

2 D2

D2

) u ( D2 )  (
2

2

) u ( D2 )  (
2

D2  D1
2

 ln V

2

2

2 D1

 ln V
D1

) u ( D1 )  (
2

2

 ln V
h

1 2 2
2 2
)
u
(
D
)

(
) u (h)
1
2
2
D2  D1
h

2

2

) u ( h)



(

2 10.012  0.004

2  7.986  0.004

0.004

) (
) (
)
2
2
2
2
10.012  7.986
10.012  7.986
2.124
2

2

2

 0.0034  0.34%

uc (V )  V  ucrel  60.829  0.34%  0.2068  0.21 (cm )
3

总不确定度（扩展不确定度）：
结果为:

U  kuc (V )  2  0.21  0.42 cm

V  (60.83  0.42)

3

cm ,

3

k 2

1.5 处理实验数据的几种方法


列表法



作图法



逐差法



最小二乘法

作图法


作图法——在坐标纸上描绘出表示所测
物理量的一系列数据间的关系的图线



简便直观

作图规则


选用合适的坐标纸与坐标分度值



标明坐标轴



标实验点



连成图线



写出图线名称

作图法示例
绘制电阻的伏安特性曲线，记录数据如下：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V(v) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
I(mA) 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9



选用合适的坐标纸与坐标分度值

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0



标明坐标轴，注明代表的物理量及单位
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



标实验点
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



连成图线
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

V (V )



写出图线名称
I (m A )

20.0

15.0

10.0

5.0

0

2.0

4.0

6.0

I～V曲线

8.0

10.0

V (V )



作图示例

3’50”

逐差法


逐差法——用于等间隔连续测量中的数
据处理。



充分利用测量数据，减小测量结果的误

差。

以测弹簧的倔强系数为例：在弹簧下端依
次加1g、2g、……、8g的砝码，记下弹簧
端点在标尺上位置n1、n2、……、n8。对
应于每增加1g砝码弹簧相应伸长为：
n1  n2  n1
n2  n3  n2

n7  n8  n7

伸长量平均值：
n 

n1  n2  ...  n7
7



( n2  n1 )  ( n3  n2 )    ( n8  n7 )
7



( n8  n1 )
7

中间测量值没起作用，为了发挥多次测量的优势，
应采用以下逐差法。

逐差法：


连续测偶数个测量值；



将实验数据前后对分为两组；



取对应项的差值（逐差）；



再求平均值。

对本例，先将数据分为两组

n1、n2、n3、n4
n5、n6、n7、n8

再取对应差值勤的平均值
n 

(n5  n1 )  (n6  n2 )    (n8  n4 )
4

即得每增加4g砝码对应的伸长平均值。

课后任务


阅读教材P1～P２２



作业（教材P２０，1 ～ 5题）



预习下次实验项目



选定课代表；报告课后第三天送交九楼报
告柜。

课本订正




０７年版，不确定度符号σ，统一改为Ｕ
表示,用下标区分不同类型．
２１面习题１“（要求置信概率９５
％）”去掉，统一按标准不确定度计
算．

结 语

再见!

敬请注意



无故缺课——不及格

实验室规则

科学实验能力


自学能力——阅读资料做好实验前的准备



动手能力——正确实验、准确测量



分析能力——对实验现象进行初步分析



表达能力——撰写简明、完整的实验报告



设计能力——能够完成简单的实验设计

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科学实验素养


理论联系实际
培养应用知识的能力



实事求是的科学态度
反对弄虚作假



爱护实验仪器，保持良好实验环境
环境育人，潜移默化

有效自由度的估算
设y是x1，x2的函数， x1，x2的自由度分别是x1，x2 。
由（1-2-5）式，y的合成标准不确定度：
uc ( y)  u1 ( y)  u2 ( y)
2

若 u1 ( y)  u2 ( y) ，则
uc ( y)

1.

2

2

4

 eff 

uc ( y )
4
1

u ( y)

1

4



若 uc ( y)  u1 ( y) ，则
u2 ( y)

2.

u2 ( y )

2



1
1
41



1
42

 eff   1

物理实验报告范例.doc