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3ème Chapitre G1
1
LE THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE
Activité de rappel sur le théorème vu en 4ème. Travail sur l’énoncé des données,
et lien avec la proportionnalité pour citer les égalités de rapport.
I)
Le théorème de Thalès.
1) Enoncé.
N
M
A
A
A
M
N
B
B
M
C
N
C
(MN) // (BC)
Prop :
B
(MN) // (BC)
C
(MN) // (BC)
Soit 5 points A, B, C, M et N .
Si M  (AB) , N  (AC) et (MN) //( BC )
AM
AN
MN
alors
=
=
AB
AC
BC
Il y a trois figures possibles, correspondant à 2 configurations différentes.
( « triangle » et « papillon »)
! Remarque :
Dans les trois cas, les deux triangles ont leurs côtés
proportionnels
Autre énoncé possible :
Si (MB) et (NC) sont sécantes en A et que (MN) //(BC) alors……….
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LE THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE
2
2) Applications du théorème de Thalès.
a) Calcul de longueurs

R
2
?
S
R  ( PH ) , S  ( PG) et (RS)//(GH)
donc d’après le théorème de Thalès,
PR
PS
RS
=
=
donc
PH
PG
GH
PR
RS
2
RS
=
donc
=
donc
PH
GH
6
9
29
RS =
donc RS = 3
6
P
6
G
9
H

E
M
12
7
F
N
?
G
18
M  ( EF ) , N  ( EG) et
(MN)//(FG)
donc d’après le théorème de Thalès,
EM
EN
MN
=
=
donc
EF
EG
FG
EN
MN
12
7
=
donc
=
donc
EG
FG
18
FG
18  7
21
FG =
donc FG =
12
2
Donc FG = 10,5
b) Prouver que deux droites ne sont pas parallèles.
Lorsque dans un exercice on a une figure qui ressemble à une situation
de Thalès, mais que l’on prouve que les rapports ne sont pas égaux,
alors le théorème de Thalès nous dit que les droites qui ont l’air
parallèles ne le sont pas . Il suffit de montrer que les deux premiers
rapports ne sont pas égaux.
N  (AC), M  (AB)
AN
4
AM
3
=
et
=
B
AC
15
AB
10
10
AN
8
AM
9
=
et
=
C
AC 30
AB
30
4
AN
AM
A
donc

donc d’après le
N
AC
AB
15
M
3
théorème de Thalès, les droites
(MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
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! Remarque 1 : On connaît les 4 mesures permettant de calculer les 2 premiers
rapports.
! Remarque 2 : Lorsque l’on utilise le fait que la conclusion d’un théorème
n’est pas vérifiée pour montrer qu’une de ses données est fausse, on dit que l’on
utilise la contraposée de ce théorème.
c) Construire un point sur une droite vérifiant un rapport donné, sans
règle graduée.
Exemple : Soit deux points A et B. Tracer à la règle non graduée et au compas
AM
4
un point M de (AB) qui vérifie
= . Justifier la construction.
AB
7
Il y a deux cas possibles : soit M  [AB] , soit M  [AB]
M
2
A
A A2 1 A
3
A
II)
R R
R R 5 6
R R2 3 4
R 1
M
1
B
4
Réciproque du théorème de Thalès.
1) Mise en évidence.
a) Propriété directe, propriété réciproque.
Le schéma d’une propriété ou théorème est :
Donnée
Donnée
Si
Donnée
alors
Conclusion
……….
Donnée
Pour former une phrase réciproque, on permute la conclusion avec une des
données. La nouvelle affirmation obtenue n’est pas forcément vraie. Si on veut
pouvoir l’utiliser, il faut la prouver.
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LE THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE
La propriété de départ est appelée propriété directe et la nouvelle est appelée
propriété réciproque.
b) Réciproque vraie, réciproque fausse.
Le théorème de Thalès peut être schématisé comme ceci :
M  (AB)
Si
alors
N  (AC)
AM
AN
=
AB
AC
(MN) // (BC)
(L’égalité avec le 3ème rapport est considérée comme une conséquence de la
première égalité qui, dans ce cas, suffit.)
Une phrase réciproque de celle du théorème de Thalès peut donc s’énoncer
ainsi :
Si M  (AB), N  (AC) et si
AM
AB
=
AN
alors (MN) // (BC)
AC
Or il se trouve que cette nouvelle affirmation n’est pas toujours vraie :
Exemple : sur la figure ci-contre,
L’affirmation ci-dessus, est bien vérifiée
pour le point N :
AM
On a bien M  (AB), N  (AC) et
AB
avec (MN) // (BC)
B
C
=
AN
AC
A
N
M
mais si on considère
le symétrique N’ de N par rapport à A,
à la place de N, cette affirmation est
fausse :
AM AN’
M  (AB), N’  (AC) et
=
mais (MN’) et (BC) ne sont pas
AB AC
parallèles.
On est donc obligé de rajouter la donnée suivante à la phrase réciproque :
“ M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre”,
N'
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afin qu’elle soit toujours vérifiée. ( Nous en admettrons la démonstration.)
2) Enoncé de la réciproque du théorème de Thalès.
Prop:
Si M  (AB), N  (AC) avec M, A, B et N, A, C alignés dans le même ordre
AM AN
et si
=
alors (MN) // (BC).
AB AC
Les figures correspondantes sont les mêmes que pour la partie directe.
3) Application: Prouver que deux droites sont parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès, sert uniquement à prouver que deux
droites sont parallèles.
Exemple:
R  (SC), M  (SE)
SR
4
2
=
=
et
SC
6
3
E
4.5
SM 3
30 215
2
R 4
=
=
=
=
donc
SE 4.5
45 315
3
SR
SM
S
=
SC
SE
De plus, R,S,C et M, S, E sont alignés dans
3
M
6
C
le même ordre, donc d’après la réciproque
du théorème de Thalès, (RM) // (EC)
! Remarque : la présentation de cet exercice commence de la même manière
que lorsque l’on veut prouver que deux droites ne sont pas parallèles. On connaît
là aussi les 4 mesures permettant de calculer les deux premiers rapports, et on ne
sait pas au départ si c’est la partie directe ou la partie réciproque qui va servir.