Transcript Voorkennistest

A(t )  A 0  e
  t
Us 
dy
f (x  x )  f (x )
 lim
dx x 0
x
50
 A R t  e
0

ln2
T1 / 2 ,f
t
dt
0
Voorkennistest wiskunde en statistiek
voor Stralingshygiëne niveau 3
If people do not believe that mathematics is simple,
it is only because they do not realize how
complicated life is. ~John Louis von Neumann
Delft
University of
Technology
Challenge the future
Uitleg
Deze test bevat 24 opgaven die de verwachte voorkennis op het
gebied van wiskunde en statistiek voor de cursus stralingshygiëne
niveau 3 aangeven. U hoeft niet alle opgaven te kunnen
beantwoorden: als u uiteindelijk minimaal 16 vragen juist hebt
kunnen beantwoorden, dan is uw voorkennisniveau op voldoende
peil om de cursus niveau 3 te kunnen volgen.
Is dit niet het geval, dan raden wij u aan eerst de VoorCursus te
volgen om uw voorkennis op te frissen. In deze cursus komen alle
onderdelen van deze test uitgebreid aan bod, alsmede de
benodigde basis in de onderdelen natuurkunde, scheikunde en
biologie.
Voorkennistest niveau 3
2
Uitleg
De test zou, bij voldoende voorkennis, binnen circa 45 minuten
maakbaar moeten zijn. U mag bij de test indien nodig een
rekenmachine gebruiken, op enkele vragen na (dit staat
aangegeven). Wij raden u aan de vraag te lezen op de slide, maar
verder de uitwerkingen op papier te maken.
Als u eenmaal klikt krijgt u de slide met de volgende vraag, klikt u
dan nogmaals, dan komt er een korte hint te staan om u op weg te
helpen. Mocht u hiermee niet verder komen, ga dan gewoon door
met de volgende vraag.
Aan het einde staan nogmaals alle vragen, nu steeds gevolgd door
een uitwerking. Controleer hiermee uw antwoorden.
Voorkennistest niveau 3
3
Vraag 1
De eerste vragen zijn niet direct stralingshygiëne gerelateerd, maar
toetsen wel enkele basisvaardigheden in het oplossen van
vergelijkingen en het rekenen met machten.
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
3x  7  20
Hint: Begin met aan beide zijden 7 op te tellen.
Voorkennistest niveau 3
4
Vraag 2
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
x  6x  9  0
2
Hint: Ontbindt de vergelijking in factoren in de vorm
(x + a)(x + b) = 0.
Voorkennistest niveau 3
5
Vraag 3
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
3x  2x  9
6
x 1
2
Hint: Herschrijf de vergelijking in de vorm ax 2 + bx + c = 0 en los
op m.b.v. de abc-formule (vierkantswortelvergelijking) of door
ontbinden in factoren (mogelijk, maar lastig).
Voorkennistest niveau 3
6
Vraag 4
Reken uit zonder rekenmachine:
5
2

Hint: 5-2 = 50 / 52
Voorkennistest niveau 3
7
Vraag 5
Reken uit zonder rekenmachine:
3
2
4 
Hint: Wanneer een macht tot de macht wordt verheven, worden
de exponenten vermenigvuldigd.
Voorkennistest niveau 3
8
Vraag 6
Bereken het volgende logaritme:
3
log 81 
Hint: Het logaritme wordt gebruikt om de exponent van een macht
te berekenen. Bovenstaande opgave vraagt eigenlijk: “Tot welke
macht het grondtal 3 verheven worden om 81 te krijgen?”.
Voorkennistest niveau 3
9
Vraag 7
Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen
tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte.
e
 13 d
 0,05
Hint: De exponent van het getal e (= 2,71828…) kan worden
berekend door het natuurlijk logaritme (ln) te nemen.
Voorkennistest niveau 3
10
Vraag 8
Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen
tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval:
t
 1 10
35  4480   
2
Hint: Deze vergelijking kan opgelost worden door te bepalen hoe
vaak het getal 4480 gehalveerd moet worden om 35 te krijgen.
Voorkennistest niveau 3
11
Vraag 9
Herschrijf de onderstaande exponentiële vergelijking die
verzwakking van een stralingsbundel beschrijft in decimeringen
(afnamen in factoren van 10) naar een vergelijking met grondtal e.
d
 1  40
I (d )  I (0)   
 10 
Hint: ax = (e
ln a)x
Voorkennistest niveau 3
12
Vraag 10
Differentiëren is het bepalen van de hellingfunctie oftewel de
afgeleide functie. Differentieer de volgende functie:
f (x )  4x  3x  6
2
Hint: De afgeleide van a∙x n + b is a∙n∙x n-1.
Voorkennistest niveau 3
13
Vraag 11
Differentieer de volgende functie:
2x
e
f (x )  3
x
Hint 1: De afgeleide van e x is e x.
Hint 2: Quotiëntregel: f (x )  g (x )
h (x )
 f '(x ) 
g '(x )  h (x )  g (x )  h '(x )
(h (x ))2
Hint 3: Kettingregel: f (x )  g (h (x ))  f '(x )  g '(h (x ))  h '(x )
Voorkennistest niveau 3
14
Vraag 12
Met een integraal wordt het oppervlak onder een curve berekend.
Dit kan bijvoorbeeld nodig zijn om uit te rekenen wat de dosis is als
gevolg van het inademen van radioactief materiaal.
Reken de onderstaande opgeloste integraal van een negatieve
exponentiële vergelijking uit:
t 10
t
0
e
0,25t
dt   4e
0,25t
10
 
0
Hint: Vul in voor de bovenste grenswaarde, vul in voor de onderste
grenswaarde, en trek tenslotte de twee antwoorden van elkaar af.
Voorkennistest niveau 3
15
Vraag 13
Bereken de volgende integraal:
x 4

x
3x dx
2
2
Hint: Integreren is het omgekeerde van differentiëren. Bereken
eerst de zgn. primitieve functie en vul deze in met de
grenswaarden.
Voorkennistest niveau 3
16
Vraag 14
Gebruik de hiernaast
afgebeelde grafiek om te
bepalen hoeveel procent
van een stralingsbundel
door een loden wand van
4 cm dik kan dringen.
Transmissie is de fractie
straling die door een
afscherming heen komt.
Hint: Let goed op de
onderverdeling binnen de
logaritmische schaal.
Voorkennistest niveau 3
17
Vraag 15
Stralingsbundels kunnen onder hoeken
verstrooien op muren. Hierdoor is enige
kennis van goniometrie ook noodzakelijk.
In de hiernaast afgebeelde rechthoekige
driehoek (niet op schaal) is de lengte
van zijde a 5,0 meter en van
schuine zijde c 9,0 meter.
c
a
b
Hoe lang is zijde b ?
Hint: Pythagoras.
Voorkennistest niveau 3
18
Vraag 16
In de hiernaast afgebeelde
rechthoekige driehoek (niet op schaal)
is de lengte van zijde a 30 cm.
Hoek  is 30°.
Hoe lang is zijde c ?
c

a
b
Hint: Gebruik de sinus van hoek .
Voorkennistest niveau 3
19
Vraag 17
Geef in het juiste aantal significante cijfers antwoord op de
volgende vraag:
Een wand is 275,5 bij 1102,0 cm groot. Met 1,0 liter muurverf kun
je 12,5 m2 verven. Hoeveel liter verf heb je nodig?
Hint: Let goed op de eenheden en op de nauwkeurigheid van de
verschillende gegevens.
Voorkennistest niveau 3
20
Vraag 18
Kennis van statistische basisbegrippen is nodig om de
nauwkeurigheid van stralingsmetingen te kunnen beoordelen.
Bereken het gemiddelde, de modus en de mediaan van de volgende
serie gemeten massa’s in grammen:
420
415
424
406
432
422
427
433
420
Hint: Zet voor bepaling van modus en mediaan als eerste de getallen
op volgorde van laag naar hoog.
Voorkennistest niveau 3
21
Vraag 19
Bereken de absolute en de relatieve standaarddeviatie van het
gemiddelde in dezelfde serie gemeten massa’s als de vorige vraag:
420
415
424
406
432
422
427
433
420
Hint: De standaarddeviatie is de wortel uit de variantie, die berekend
wordt door van elk van de waarde het verschil met het gemiddelde te
berekenen, kwadratisch op te tellen en te delen door het aantal
metingen.
Voorkennistest niveau 3
22
Vraag 20
Een serie activiteitsmetingen geeft als gemiddelde waarde 250 Bq
en als standaarddeviatie 15 Bq. De meetwaarden hebben een
normale verdeling.
Tussen welke waarden ligt het 95% betrouwbaarheidsinterval
(onzekerheidsinterval)?
Hint: De (on)zekerheid van een meting in normaalverdeling wordt
bepaald door het aantal standaarddeviaties marge dat wordt
genomen.
Voorkennistest niveau 3
23
Vraag 21
Trek de volgende gemeten teltempo’s met foutenmarges van
elkaar af om het netto teltempo te verkrijgen:
Rmonster  244  5,0 cps
Rachtergrond  34  3,5 cps
Hint: Bij optellen of aftrekken van meetwaarden kan men de
standaarddeviaties “kwadratisch optellen”.
Voorkennistest niveau 3
24
Vraag 22
Metingen van radioactieve bronnen voldoen aan een
binomiaalverdeling die bij grote aantallen overgaat in een
Poissonverdeling. Hiervan kan uit één meting de relatieve meetonzekerheid (1 standaarddeviatie) worden berekend met √N / N.
N staat hierin voor het aantal gemeten telpulsen.
Hoeveel telpulsen moeten worden gemeten als de relatieve
meetonzekerheid 0,5% mag zijn?
Hint: Stel op als vergelijking en probeer eerst te vereenvoudigen.
Voorkennistest niveau 3
25
Vraag 23
Geef bij onderstaande vier schematische weergaven van de
benaderingen van een meetwaarde aan welke precies en welke
juist zijn.
Voorkennistest niveau 3
26
Vraag 24
Men verwacht tussen twee grootheden een lineair verband.
Hieronder is een serie metingen weergegeven.
Welke kleur regressielijn geeft het best het verband weer?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Voorkennistest niveau 3
27
Uitwerking vraag 1
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: 3x  7  20
Uitwerking:
3x  7  7  20  7
3x / 3  27 / 3
x 9
Voorkennistest niveau 3
28
Uitwerking vraag 2
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: x 2  6x  9  0
Uitwerking: Ontbinden in factoren:
(x + a)(x + b) = 0
a en b opgeteld -6,
a en b vermenigvuldigd 9.
x
 3  x  3   0
x 30
x 3
Alle mogelijkheden op
gehele getallen die bij
vermenigvuldiging 9
opleveren:
a
b
+
*
1
9
10
9
3
3
6
9
-1
-9
-10
9
-3
-3
-6
9
Voorkennistest niveau 3
29
Uitwerking vraag 3
3x 2  2x  9
Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:
6
x 1
Uitwerking
• Herschrijven:
3x 2  2x  9
  x  1  6   x  1
x 1
3x 2  2x  9   6x  6   6x  6   6x  6 
3x 2  4 x  15  0
• abc-formule:
b  b 2  4ac
4  16  180
x 

2a
6
4  14
4  14
x 
x 
6
6
x  2 23  x  3
Voorkennistest niveau 3
30
Uitwerking vraag 4
Reken uit zonder rekenmachine: 52 
Uitwerking:
• Een negatieve macht leidt volgens de rekenregels voor machten
tot een breuk:
52
50
1
1
 2  2 
 0, 04
25
5
5
Voorkennistest niveau 3
31
Uitwerking vraag 5
3
2
Reken uit zonder rekenmachine: 4 
Uitwerking:
• Een complexe exponent kan worden opgesplitst m.b.v. de
rekenregels:
3
2
1
3 2
 
4  4
 64
1
2
• Een gebroken macht is gelijk aan een wortel:
1
2
64  64  8
• Dit kan worden bewezen met dezelfde rekenregel:
1
2
1
2 2
 
64  8
2
2
8 8
Voorkennistest niveau 3
32
Uitwerking vraag 6
Bereken het volgende logaritme:
3
log 81 
Uitwerking:
3
log81  4 , want 34  3  3  3  3  81
Voorkennistest niveau 3
33
Uitwerking vraag 7
Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen
tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte.
e
 13 d
 0,05
Uitwerking:
• Gebruik het natuurlijk logaritme:
ln e
 13 d
 ln 0, 05
 13 d   3   3   3 
d 9
Voorkennistest niveau 3
34
Uitwerking vraag 8
Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen
tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval:
t
 1 10
35  4480   
2
Uitwerking:
t
35
 1 10
 
4480  2 
 35 
log 
t
4480 


7
10
1
log  
2
t  7  10  70
Alternatief voor log-berekening:
Tel eenvoudigweg na hoe
vaak het getal 4480 gehalveerd
moet worden om op 35 te
komen. Het antwoord is 7.
Voorkennistest niveau 3
35
Uitwerking vraag 9
Herschrijf de onderstaande exponentiële vergelijking die
verzwakking van een stralingsbundel beschrijft in decimeringen
(afnamen in factoren van 10) naar een vergelijking met grondtal e.
d
 1  40
I (d )  I (0)   
 10 
Uitwerking:
• Herschrijf het grondtal in een e –macht en vereenvoudig daarna
zover mogelijk m.b.v. rekenregels voor machten:
1
ln
1
ln101
10
e
e
 e  ln10
10
• Vul in: I (d )  I (0)  e

ln10
d
40
Voorkennistest niveau 3
36
Uitwerking vraag 10
Differentiëren is het bepalen van de hellingfunctie oftewel de
afgeleide functie. Differentieer de volgende functie:
f (x )  4x 2  3x  6
Uitwerking:
• f is een machtsfunctie, hiervoor bestaan eenvoudige rekenregels
voor het snel bepalen van de afgeleide functie.
• Het getal -6 wordt niet meegenomen: dit bepaalt alleen de
verticale verschuiving van de curve, niet de helling.
f '(x )  4  2  x 2 1  3  1  x 11
f '(x )  8x  3
Voorkennistest niveau 3
37
Uitwerking vraag 11
2x
e
Differentieer de volgende functie: f (x )  3
x
Uitwerking:
• Bereken eerst apart de afgeleiden van de functie g (x) in de teller
en de functie h (x) in de noemer. Gebruik voor de teller de
kettingregel.
g (x )  e 2 x  g '(x )  e 2 x  2x 11  2e 2 x
h (x )  x 3  h '(x )  3  x 31  3x 2
• Voor de afgeleide van het totaal: vul de quotiëntregel in en
vereenvoudig zo ver mogelijk.
f '(x ) 
2e 2 x  3x 2  e 2 x  x 3
x 3 
2
6  x  e 2x


x6
x2
6  x  e 2x


x4
Voorkennistest niveau 3
38
Uitwerking vraag 12
Reken de onderstaande opgeloste integraal van een negatieve
exponentiële vergelijking uit:
t 10
t
0
e
0,25t
dt   4e
0,25t
10
 
0
Uitwerking:
• Vul de grenswaarden in en werk het antwoord uit:
10

 

4e 0,25t   4e 0,2510  4e 0,250  0,328  4  3,67
0
Voorkennistest niveau 3
39
Uitwerking vraag 13
x 4
Bereken de volgende integraal:

3x 2dx
x 2
Uitwerking:
• Bereken de primitieve via de omgekeerde rekenregels voor
differentiëren:
f (x )  3x 2  F (x )  x 3  c
• Vul de grenswaarden in en werk uit. De onbekende constante c
komt te vervallen bij het invullen van grenswaarden, dus kan al
direct weggelaten worden.
x 4

x
2
4
3x dt  x   43  23  64  8  56
2
2
3
Voorkennistest niveau 3
40
Uitwerking vraag 14
Gebruik de hiernaast afgebeelde grafiek
om te bepalen hoeveel procent van
een stralingsbundel door een loden
wand van 4 cm dik kan dringen.
Uitwerking:
• Wanneer nauwkeurig afgelezen ziet
men dat de zwarte lijn voor lood bij
4 cm dikte op hoogte is van het eerste
ongemarkeerde streepje boven de aanduiding 10-3.
• Er bevinden zich acht ongemarkeerde streepjes tussen 10-3 en 10-2,
dus eerste streepje staat voor een fractie van 2∙10-3. Dit is gelijk aan
2/1000e deel, dus 0,2%.
Voorkennistest niveau 3
41
Uitwerking vraag 15
In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek
is de lengte van zijde a 5,0 meter en van
schuine zijde c 9,0 meter. Hoe lang is zijde b ?
Uitwerking:
• Vul stelling van Pythagoras in:
c
a
b
a2  b2  c 2
5, 02  b 2  9, 02
b 2  81  25  56
b  56  7,5
• Zijde b is ca. 7,5 m lang (niet nauwkeuriger weergeven dan
oorspronkelijk gegeven lengten).
Voorkennistest niveau 3
42
Uitwerking vraag 16
In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek
is de lengte van zijde a 30 cm. Hoek  is 30°.
Hoe lang is zijde c ?
c
a

Uitwerking:
b
• De sinus van een hoek in een rechthoekige driehoek is gelijk aan
de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde.
a
sin   
c
 
sin 30
 0,5 
30
c
c  60
Voorkennistest niveau 3
43
Uitwerking vraag 17
Geef in het juiste aantal significante cijfers antwoord op de volgende
vraag: Een wand is 275,5 bij 1102,0 cm groot. Met 1,0 liter muurverf
kun je 12,5 m2 verven. Hoeveel liter verf heb je nodig?
Uitwerking:
• Het wandoppervlak is 275,5 ∙ 1102,0 = 3,036∙105 cm2 = 30,36 m2.
• Met 1,0 liter verf je 12,5 m2, dus voor 30,36 m2 heb je nodig:
30,36/12,5 ∙ 1,0 = 2,4 liter verf.
• Aangezien de minst nauwkeurige waarde (volume verf) in twee
significante cijfers gegeven is, wordt het eindantwoord ook in twee
significante cijfers gegeven.
Voorkennistest niveau 3
44
Uitwerking vraag 18
Bereken het gemiddelde, de modus en de mediaan van de volgende
serie gemeten massa’s in grammen:
420 415 424 406 432 422 427 433 420
Uitwerking:
• Herschikking getallenreeks:
406 415 420 420 422 424 427 432 433
n
• Berekening gemiddelde:
x 
xi

i
1
n
406  415  420  420  422  424  427  432  433

 422 gram
9
• Modus = de meetwaarde die het meest voorkomt = 420 gram.
• Mediaan = de middelste meetwaarde in de reeks op volgorde van
laag naar hoog = 422 gram.
Voorkennistest niveau 3
45
Uitwerking vraag 19
Bereken de absolute en de relatieve standaarddeviatie van het
gemiddelde in dezelfde serie gemeten massa’s als de vorige vraag.
Uitwerking:
• Bereken eerst de variantie, dit is de
standaarddeviatie in het kwadraat: s 2 
n
2
(
x

x
)
 i
i 1
n
2,112  7,112  3, 892  16,12  9, 892  0,112  4, 892  10, 92  2,112

 63, 9
9
• De absolute standaarddeviatie:
s  63, 9  7, 99 gram
• De relatieve standaarddeviatie,
ook wel variatiecoëfficiënt genoemd: v  s  7, 99  0, 0189  1, 89%
x
422
Voorkennistest niveau 3
46
Uitwerking vraag 20
Een serie activiteitsmetingen geeft als gemiddelde waarde 250 Bq
en als standaarddeviatie 15 Bq. De meetwaarden hebben een
normale verdeling. Tussen welke waarden ligt het 95%
betrouwbaarheidsinterval (onzekerheidsinterval)?
Uitwerking:
• Een marge van één standaarddeviatie in een normaalverdeling
leidt tot een 68% betrouwbaarheidsinterval, wanneer twee
standaarddeviaties wordt genomen is dit 95% en bij drie 99%.
x  2s  250  2  15 Bq  250  30 Bq
• De grenswaarden voor 95% betrouwbaarheid zijn dus 220 Bq en
280 Bq.
Voorkennistest niveau 3
47
Uitwerking vraag 21
Trek de volgende gemeten teltempo’s met Rmonster  244  5, 0 cps
foutenmarges van elkaar af:
Rachtergrond  34  3,5 cps
Uitwerking:
• Het netto teltempo (=gemeten minus achtergrond):
244 – 34 = 210 cps.
• Als een waarde z wordt berekend uit meetwaarden x en y door
optellen of aftrekken, geldt voor de standaarddeviaties:
sz  sx 2  sy 2
s  5, 02  3,52  6,1 cps
• Rapportage berekende waarde: 210 ± 6,1 cps.
Voorkennistest niveau 3
48
Uitwerking vraag 22
…Hiervan kan uit één meting de relatieve meet-onzekerheid (1
standaarddeviatie) worden berekend met √N / N.
N staat hierin voor het aantal gemeten telpulsen.
Hoeveel telpulsen moeten worden gemeten als de relatieve
meetonzekerheid 0,5% mag zijn?
Uitwerking:
N
 0,5%  0, 005
N
N
1

 0, 005
N  N
N
N 
1
 200
0, 005
N  2002  40000
Voorkennistest niveau 3
49
Uitwerking vraag 23
Geef bij onderstaande vier schematische weergaven van de
benaderingen van een meetwaarde aan welke precies en welke
juist zijn.
Uitwerking:
• Precies betekent dat de spreiding
door toevallig fouten klein is.
• Juist betekent dat de geschatte of
gemeten waarde de werkelijke waarde
goed benadert, dus dat de
systematische fout klein is.
precies
juist
juist & precies
Voorkennistest niveau 3
50
Uitwerking vraag 24
Men verwacht tussen twee grootheden een lineair verband. Hieronder
is een serie metingen weergegeven.
Welke kleur regressielijn geeft het best het verband weer?
Uitwerking:
• Bij lineaire regressie gebruikt men
de kleinste kwadratenmethode.
• Zichtbaar resultaat: afstand
punten boven en onder lijn zo klein
mogelijk en verdeling gelijkmatig.
• Evidente uitbijters worden weggelaten.
• De zwarte lijn is de beste regressielijn
als punt x=8 als uitbijter wordt gezien.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Voorkennistest niveau 3
6
7
51
8
9
10