Transcript La mécanique céleste

La Mécanique
Céleste
Présenté le JJ numéro 2455638
Gérard Debionne
Inspiré d’un exposé de Gil…
La mécanique céleste, c’est d’abord cela…
 X E   cos  m

 
Y E  sin  m

 
 Z E   0

a
sin i m
sin  m sin i m   rm . cos(  m  f m ) 
 

 cos  m sin i m * rm . sin(  m  f m )
 

 

cos i m
0
v(r ) 
MG

2a
a
U
MG
cos  m cos i m
A ².( 1  B ² / A ²  R T ² / B ²  1)
R T . cos  
v(r ) 
 sin  m . cos i m
2a
W1
1
r
 agt
y (t ) 
*
a ². g  2
2 .
v(r ) 
2
a
C
 cos λ A . sin  A . cos (h A ). cos (a A )  sin λ A . cos (h A ). sin (a A )  cos λ A . cos  A . sin (h A ) 


 sin λ A . sin  A . cos (h A ). cos (a A )  cos λ A . cos (h A ). sin (a A )  sin λ A . cos  A . sin (h A )




sin  A . sin (h A )  cos  A . cos (h A ). cos (a A )
 2 agt
 4 agt


e
e
 t . Log [( a .v ( 0 )  1) / 2 ] 

 ...  
1 
2
2 agQ 
4Q
9Q

MG
e

1
r
2a
r
1
 2 agt
v(r ) 
MG
a

2a
1
r

dv

 v ( t )²  .SC x

 aˆ z .
 g   2 (  aˆ z ). v ( t )
dt
2m


C’est-à-dire, des calculs qui prédisent l’avenir … des planètes
Mais c’est aussi une histoire…
Une histoire extraordinaire dont les acteurs ont à jamais leur nom
gravé au firmament de l’excellence.
Une histoire qui commence dans la Grèce antique … qui survit en
orient, grâce aux arabes… et qui fait une longue escale dans la
somnolence médiévale de l’Europe.
Une histoire enfin qui repart en Europe à la renaissance et qui va
faire des progrès fulgurant à partir du 18ème siècle grâce aux
découvertes fondamentales d’un savant anglais, Isaac Newton.
Une définition
La mécanique céleste est l’application des lois de la physique à la
prévision des mouvements des corps célestes dans l’univers.
Cette science s’est développée dans l’espace restreint dans lequel
l’observation précise pouvait confirmer ou infirmer les calculs des
géomètres, c’est-à-dire dans notre système solaire.
L'histoire de la mécanique céleste est jalonnée de noms illustres qui
ont bouleversé nos conceptions du monde au cours des siècles :
Hipparque, Copernic, Galilée, Kepler, vont décrire l’univers…
Newton, Euler, Lagrange, Halley, Laplace, et enfin Einstein vont
« expliquer » les mouvements des corps en établissant des lois
mathématiques qui permettent de prévoir les positions passées ou
futures des astres à partir des positions présentes.
L’antiquité
Depuis l'antiquité, le ciel est constitué de la sphère des étoiles fixes, immuable, sur
laquelle circulent le Soleil, la Lune et 5 planètes ("astres errants " en grec) :
Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne. D'après Platon (Ve siècle av.JC), héritier
des courbes parfaites de la philosophie grecque : "Seul le mouvement circulaire
uniforme peut rendre compte de la perfection et de l'harmonie de l'univers
".
Ce mouvement circulaire ne suffit pas à expliquer simplement la position réelle des
planètes. A cette époque, la Terre est au centre du système, et on constate très vite
que la distance des planètes à la Terre varie au cours de l'année, sans compter la
rétrogradation de certaines planètes comme Mars. Hipparque (150 av. JC),
s'appuyant sur les idées d'un mathématicien grec (Apollonios de Perga), imagine un
système d'épicycles pour expliquer ces variations tout en conservant le mouvement
circulaire uniforme comme base. La variation des vitesses du déférent par rapport à
l'épicycle permettait de rendre compte du mouvement complexe de chaque planète.
Cette idée fut reprise par Ptolémée, 3 siècles plus tard. Il importait moins à
l'époque de savoir comment les planètes se déplaçaient que de pouvoir prédire
leurs positions à un moment donné.
L’héritage de l’antiquité
De l’antiquité allait subsister pendant très longtemps le système d ’épicycles… Le
Soleil et les planètes tournent autour de la Terre sur des orbites composées d’un
cercle principal et de cercles secondaires…
Orbite de Mars vue de la Terre pendant 900 jours
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Le schéma ci-dessus représente le trajectoire réelle de Mars vue de la Terre. Il
justifie assez bien la notion d’épicycle.
L’héritage de l’antiquité
La même chose pour Jupiter…
Orbite de Jupiter vue de la Terre pendant 4400 jours
6
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Le schéma ci-dessus représente le trajectoire de Jupiter vue de la Terre. Il justifie
assez bien la notion d’épicycle.
La révolution copernicienne
.
Le monde avant et après Copernic…
La révolution copernicienne
Quinze siècles plus tard, Copernic remet le Soleil au centre du système des
planètes, mais conserve le système d'épicycles qui s'est compliqué au cours des
siècles du fait des écarts de plus en plus importants entre la théorie et la réalité.
Le mouvement circulaire ne suffit pas à expliquer simplement la position réelle
des planètes.
.
A l’époque, l’église est très puissante. Copernic publiera son célèbre ouvrage
(de Revolutionibus Orbium Coelestium…) à titre posthume en 1543 en prenant la
précaution d’expliquer dans sa préface que ce point de vue révolutionnaire
n’est qu’un artifice destiné à simplifier les calculs.
Copernicien convaincu, un disciple de Tycho Brahé, Johanes Kepler (15711630) reprend la place d' astronome impérial à Prague en 1601, à la mort de
celui-ci.
Le rôle de Kepler
Ayant une confiance absolue dans les mesures de son maître Tycho Brahe, Kepler
ne peut croire que celui-ci ait pu faire des erreurs aussi importantes que celles qui
existent entre ses mesures et l'hypothétique mouvement circulaire uniforme. Dès
1602, il comprend que plus la planète se rapproche du Soleil, plus elle va vite.
Après avoir reporté les mesures relatives de Mars et de la Terre, il comprend en
1605 que le mouvement de Mars n'est pas un cercle, mais une ellipse. Il essaie sur
les autres planètes et ça marche .
En 1609, il énonce dans « Astronomia nova » ses 2 premières lois :
.
(i) Chaque planète décrit une ellipse autour du soleil qui occupe un
des 2 foyers.
(ii) Dans le mouvement elliptique des planètes, leur rayon vecteur
balaie des aires égales en des temps égaux.
Les lois de Kepler
En 1609, Kepler est alors âgé de 38
ans.
L’ouvrage
contient
les
démonstration ainsi que tous les
détails de son cheminement
intellectuel.
Dans un premier temps, Kepler donnera la loi des aires pour une
orbite circulaire avec le centre légèrement décalé.
En langage d’aujourd’hui, on dirait que Kepler a fait de la
cinématique. Son successeur Newton, fera de la mécanique.
La troisième loi de Kepler
De nombreuses années vont s’écouler avant que Kepler ne propose sa 3ème loi.
Pendant tout ce temps, une idée ne va pas le quitter, celle d’harmonie…
L’explication ultime de la nature est simple, c’est Dieu qui l’a créé… Ce qu’il faut
savoir c’est qu’elle sorte de règle Dieu a-t-il mis en place pour faire bouger tout
cela ?
Kepler va tâtonner longtemps, la nouvelle idée qu’il cherche à exploiter est que
pour tenir compte du fait qu’une orbite n’est pas caractérisée simplement par un
rayon mais par plusieurs paramètres et notamment des vitesses variables, il faut
que l’harmonie de la nature apparaisse sous plusieurs formes.
A l’époque, on est capable de dresser le tableau suivant :
Planète
Mercure
Vénus
Terre
Mars
Jupiter
Saturne
Période de révolution
Distance au Soleil
88 jours
228 jours
365.25 jours
687 jours
12 ans
29.5 ans
0.38 UA
0.76 UA
1 UA
1.52 UA
5.2 UA
9.5 UA
Il manque l’explication de tout cela, Kepler va travailler et trouver!
La troisième loi de Kepler
En résumé, Kepler va accomplir deux démarches bien distinctes :
(i) Il va reprendre des travaux ébauchés dans le Mysterium dans lequel il
cherchait en vain une proportionnalité entre les périodes et les distances au
Soleil. La nouveauté est que cette fois il compare les périodes au carré des
distances…
(ii) Il va calculer des rapports de vitesses des planètes entre aphélie et périhélie
(min et max des distances au Soleil) et entre ces mêmes grandeurs pour 2 orbites
de planètes consécutives. Pour chacun de ces rapports de vitesses, il trouve un
rapport appartenant à la gamme harmonique des musiciens, c’est à dire
considéré comme agréable à l’oreille.
De ces interminables tâtonnements sort un jour un résultat étonnant :
La troisième loi de Kepler
Le bon exposant X qu’il faut mettre sur le rapport (A1/A2) des grands axes
pour obtenir le rapport (P1/P2) des périodes est tout simplement la moyenne
des deux rapports précédemment essayés, à savoir 1,5=3/2, mais ce rapport,
c’est surtout celui de la consonance 3/2, la quinte qui convient parfaitement, à
la fois parce qu’elle respecte la notion d’harmonie musicale mais aussi et
surtout parce qu’elle correspond enfin aux observations.
On est encore très loin d’une démarche scientifique moderne…
De nos jours, on sait facilement démontrer cette loi dans le cas particulier
d'une orbite circulaire. Pour cela, on égale la force centrifuge en m.V²/R à
l'attraction gravitationnelle en G.M.m/A² et la troisième loi s'en déduit
immédiatement, qui plus est avec la bonne constante de proportionnalité. (ou
presque!)
4
2
G .M

P
2
A
3
Soit aussi…
A
3/2
 P
GM
2
L’apport de Galilée
(1564 – 1642)
Ce n’est pas pour rien si aujourd’hui on parle de référentiel galiléen pour
décrire un référentiel qui n’est soumis à aucune accélération…
Galilée est l’expérimentateur infatigable de la mécanique classique (plan
incliné…). Il découvrira la loi régissant la chute des corps et le mouvement
parabolique. Il s’intéressera aussi au pendule. Le premier, il fit une théorie des
marées. (Très simplifiée !!!)
En astronomie, il prit part au débat sur le mouvement de la Terre, soutenant les
thèses de Copernic, ce qui failli lui couter la vie.
Galilée est aussi le premier (1609) à utiliser une lunette astronomique. Sa
découverte des 4 satellites de Jupiter militera fortement en faveur de son point
de vue sur l’organisation du système solaire autour du Soleil.
Newton: naissance de la modernité
Utilisant les travaux de Galilée sur la chute des corps, la force d'inertie et les
corps en mouvement (la cinématique) et surtout, les lois de Kepler, un
physicien anglais : Isaac Newton (1642-1727), réussit à démontrer
géométriquement qu'on peut expliquer le mouvement képlérien des planètes
autour du Soleil en supposant que les corps s’attirent mutuellement avec une
force d'attraction proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle
au carré de leur distance.
Newton, après avoir précisé les notions de temps et d’espace, résumera ses
travaux en plusieurs lois:
* La loi de la dynamique : Force = Masse x Accélération
(d’usage universel)
* La loi d’inertie (Galilée) et l’égalité entre action et réaction.

M 1 .M 2
* La loi de la gravitation (en notations modernes).
F12   G .rˆ12 .
2
d 12
La dernière loi écrite pour 2 points matériels sera étendue à des masses non ponctuelles.
La mécanique céleste selon Newton
Pour des raisons qui ne sont pas entièrement claires, Newton n'a jamais
formellement écrit les lois qui portent son nom. Encore plus curieux, il n'a
jamais écrit dans les Principia d'équations différentielles, et par conséquent n'a
jamais présenté de solutions analytiques au mouvement des planètes.
Cette particularité a contribué au mouvement de contestation des lois de
Newton après la publication des Principia. Expliquons-nous :
L'un des points les plus contesté des Principia (par Huygens et Bernoulli) est l'idée
d'une action à distance et son coté un peu magique qui trouble le monde scientifique
de l'époque, qui croit y revoir les explications métaphysiques des anciens.
A l'époque, les explications de Descartes avec des "tourbillons à caractère
magnétique" présentent l'avantage du concret et sont bien mieux acceptés.
La non utilisation de l'outil mathématique (dans ses publications) est d'autant plus
troublante que la preuve du caractère elliptique des orbites planétaires repose sur des
raisonnements géométriques mais aussi sur une loi en 1/R² énoncée par Newton.
Newton: naissance de la modernité
Néanmoins, Newton exploite ses lois. Il mesure l'accélération de la pesanteur à la
surface de la Terre g=9,81m/s², la masse étant concentrée au centre de gravité. Il en
déduit la valeur de MT.G
Ces lois ouvraient à l'astronomie des possibilités nouvelles. Elles permirent, entre
autres choses, de peser la Terre et le Soleil en déterminant la constante G (ce qui
viendra plus tard). Elles permirent aussi de comprendre les effets de marée.
Curieusement, dans les décennies qui suivirent, l’Angleterre ne bénéficia pas de
l’immense notoriété de Newton. Rappelons pourquoi ?
Newton dans ses années de jeunesse (durant la grande peste de Cambridge) a inventé un
outil extraordinaire, le calcul intégral. Par la suite, il rejeta cette technique
« automatique » de résolution des problèmes au profit de la géométrie des Grecs.
L’immense prestige de Newton incita ses collègues et ses successeurs anglais à
travailler comme lui. Pendant ce temps, sur le continent, on compris rapidement le
parti qu’on pouvais tirer du calcul intégral.
Il résultat de cette situation que le premier à écrire les lois de la mécanique telles
que nous les connaissons aujourd’hui fut le génial mathématicien Léonard Euler.
Newton: naissance de la modernité
Si les lois de la gravitation universelle créaient les fondements de la mécanique
céleste, elles n'expliquaient pas les causes physiques de ce phénomène.
Cette force d'attraction qui agit à distance et que rien n'arrête était loin de faire
l'unanimité parmi la communauté scientifique. Huygens combattra ce point de vue
qui « sentait le souffre » et la magie. La seule force à laquelle on veut croire à
l’époque est le magnétisme. En fait Newton n’a pas donné une véritable
explication, mais plutôt un « moyen de calcul ».
Néanmoins, les preuves de la mécanique de Newton se sont accumulées au cours
des siècles :
Halley, à l'aide de ces lois, calcule les orbites de 24 comètes et prédit le retour de la
comète qui porte son nom en 1759. Il décédera en 1756 et ne la verra donc pas.
Toutes les découvertes de planètes au 19ème siècle et tous les calculs de trajectoires
de comètes retrouvées plus tard sont des preuves indirectes de la validité des lois de
Newton.
La « conquête » de la Lune
En marge des progrès réalisés sur la modélisation du mouvement des planètes du système
solaire, il faut signaler le « problème roi » de la mécanique céleste, qui a mobilisé tous les
grands théoriciens, depuis l’époque de Newton jusqu’au début du 20ème siècle :
La théorie du mouvement de la Lune.
Le problème est extraordinairement difficile pour au moins deux raisons :
 La proximité de la Lune qui donne aux observations une très grande précision
 L’effet du Soleil dont l’énorme masse éloigne l’orbite de la Lune d’une ellipse.
Sans entrer dans la technique, il est juste de citer les grands esprits qui ont participé à cette
fantastique aventure sur les traces d’Isaac Newton :
.
Au 18ème siècle:
Au 19ème siècle:
Euler,
Laplace
Clairaut
Delaunay
D’Alembert
Hansen
Lagrange
Hill
Laplace
Brown
Le décollage de la mécanique céleste au 18ème siècle
A partir de la fin du 17ème siècle, l’astronomie va faire en Europe des progrès
immenses, notamment aux 18ème et 19ème siècles.
Le 18ème siècle est le siècle des lumières. C’est aussi le siècle où les grandes nations
européennes vont favoriser l’astronomie, à la fois pour des raisons de prestige
culturel, mais aussi pour favoriser la navigation hauturière.
Les deux grands acteurs des fantastiques progrès que connais la mécanique céleste
au 18ème siècle se nomment Euler et Lagrange. Ils ne découvrent pas d’astre
nouveau mais développent les puissantes méthodes de calculs qui permettent
d’exploiter les lois de Newton.
Lagrange met au point une méthode de prévision à long terme du mouvement des
planètes. C’est la méthode de variation des constantes, les inconnues dépendant du
temps n’étant plus les coordonnées d’un astre mais les 6 éléments de son orbite
elliptique qui deviennent variable..
C’est le même Lagrange qui fait la théorie des « figures d’équilibre » du problème
à 3 corps, les célèbres points de Lagrange, dont la théorie précède d’un demi siècle
l’observation (les Troyens de Jupiter).
Le prodigieux 19ème siècle des astronomes
Entre le 18ème et 19ème siècle, on trouve la fabuleuse œuvre de Pierre Simon de
Laplace. Laplace à fait avancer tous les domaines des mathématiques et de la
physique et en particulier la mécanique céleste.
Laplace est l’auteur d’un traité de mécanique céleste en 5 volumes qui reprend et
complète largement le savoir de ses prédécesseurs. A l’aide des méthodes inventées
par Lagrange, il résous un problème d’inégalité inexpliquée sur Jupiter et Saturne.
Laplace est le premier à s’interroger sur le caractère instantané de la loi de
gravitation universelle
Laplace va aussi développer les méthodes de détermination des orbites qui seront
reprises et étendues par K.F. Gauss.
Le prodigieux 19ème siècle des astronomes
Le 19ème siècle commence le 1er janvier 1801 par la découverte de Cérès par
Piazzi. Cette découverte sera suivi tout au long du siècle et encore aujourd’hui par
la découverte de nombreux petits corps qui orbitent entre Mars et Jupiter.
Le 19ème siècle est aussi celui de la découverte de Neptune (Le Verrier 1846) par
le calcul (Ainsi que par Adams). Au départ, il s’agissait d’expliquer une erreur
persistance sur la modélisation de l’orbite d’Uranus.
A la fin du siècle Félix Tisserand reprendra un peu à la manière de Laplace,
l’ensemble des théories relatives à la mécanique céleste dans un ouvrage en 5
volumes qui est encore cité aujourd’hui.
On peut toutefois regretter qu’aucun de ces grand géomètre n’ai jamais pensé
à examiner de plus près les axiomes de Newton, et en particulier celui qui
impliquait une attraction instantanée alors qu’à l’époque la notion de
propagation était déjà dans les esprits.
Le prodigieux 19ème siècle des astronomes
A la fin de ce siècle, on verra aussi des astronomes non européens s’intéresser à la
mécanique céleste et publier des tables. C’est en particulier le cas de l’américain
Simon Newcomb (1835 – 1909) .
En 1870, en visite à Paris, il quitte la ville assiégée mais réussit à se procurer des
résultats d’observations sur une période bien plus importante que ceux dont il
disposait en Amérique. Au congrès de 1896, il est admis par la communauté des
astronomes que se sont les constantes élaborées par Newcomb qui sont les
meilleures.
Ces publications de tables sont accompagnes de progrès sur la plan théorique,
notamment avec les travaux de Félix Tisserant pour les planètes et de Hansen et
Delaunay pour les théories lunaires.
La fin du 19ème siècle voit a la fois le triomphe éclatant des sciences dures telles que
la mécanique céleste, mais aussi les premiers questionnements qui conduiront aux
lézardes dans l’édifice de la physique et ouvriront la voie à la physique moderne du
20ème siècle à laquelle l’astronomie va prendre une part déterminante.
Les fissures de la Physique à la fin du 19ème siècle
Dans son mouvement, la Terre s'approche de sources lumineuses. On devrait alors
observer des vitesses relatives supérieures à celles de la lumière. On imagina de faire
des mesures.
La plus célèbre de ces expériences est celle de Michelson et Morley en 1887. Mais
toutes les expériences furent unanimes : la vitesse de la lumière dans le vide ne
dépend pas de la direction de la source ni de la vitesse de l’observateur. "L'éther" qui
a longtemps servi de support et de référence à la lumière ne tient plus face à la
réalité.
Dans ce contexte, Einstein abandonne les idées classiques de ses
prédécesseurs au sujet de l'espace et du temps. Dans l'univers de Newton, les
astres se meuvent dans un cadre rigide et absolu : l'espace, et selon une
chronologie invariante : le temps
Pour Einstein, espace et temps, matière et énergie sont interdépendants. Seule
constante de cette scène cosmique mouvante : la vitesse de la lumière, pivot invariant
et absolu de ses théories : la relativité, restreinte (1905) puis générale (1916)
Le 20ème siècle :
Les doutes, Einstein et l’ordinateur
Le 20ème siècle est donc caractérisé d’abord par des remises en cause de
l’espace et du temps durant le premier quart du siècle. Rapidement, la relativité
s’invite dans l’astronomie avec la relativité générale et ses preuves
expérimentales.
La mécanique d’Einstein sème durablement le trouble dans la communauté
scientifique. Il faudra deux succès, la prévision de l’avance du périhélie de
Mercure et la déviation des rayons lumineux par une masse importante pour
convaincre une grande partie des septiques.
Pour la seconde moitié du siècle, c’est l’apparition de calculateur électronique
qui va changer le visage de la mécanique céleste. On ne se limite plus aux
problèmes qui ont une solution analytique. On calcule ce dont on a besoin.
Aujourd’hui, toutes les éphémérides sont calculées numériquement. Le
numérique n’a aucune « modestie ». Tout se modélise, le big-bang comme les
trous noir ou l’intérieur des étoiles.